K%   Kellyho formula

 

 

Rieši stanovenie optimálnej veľkosti obchodu pri zohľadnení charakteristík obchodného systému s cieľom zaručiť najlepší nárast obchodného účtu a ochrániť tradera pred obchodovaním s príliš riskantnými čiastkami. (overtrading). Predpokladá reinvestíciu ziskov. Charakterizuje a ohodnocuje kvalitu OS.

 

 

Charakteristiky obchodného systému :

 

nl         number of loss                                      počet stratových obchodov

nw        number of win                                       počet ziskových obchodov

n          number of trades                                   celkový počet obchodov

W%      winning percentage                           percento ziskových obchodov

L%       losin percentage                                   percento stratových obchodov

R          winn / loss ratio                                    pomer priemerných ziskov k stratám     

W         average size of winning trades                priemerný zisk na obchod

L          average size of losing trades                  priemerná strata na obchod

SW      sum of win                                           súčet všetkých ziskov

SL        sum of loss                                          súčet všetkých strát

SE       system expectancy                              očakávaná návratnosť systému = priemerný obchod

TE%     trade expectancy                                  očakávaná návratnosť jedného obchodu

EF%     efficiency                                             efektivita

RF        reward factor                                        koeficient návratnosti

K%       kelly formula                                         hodnotenie kvality OS

 

 

Definície a výpočty :

 

n = nw + nl                              

W% = nw / n                Percentuálne vyjadrenie počtu ziskových obchodov ku všetkým.

L% = nl / n                   Percentuálne vyjadrenie počtu stratových obchodov ku všetkým.

W = SW / nw                Priemerný zisk zo ziskového obchodu.

L = SL / nl                    Priemerná strata zo stratového obchodu.

R = W / L                     Pomer priemerných ziskov ku priemerným stratám.

 

 

Skratky :

 

OS                               Obchodný systém

TA                               Technická analýza

FA                               Fundamentálna analýza

PT                               Profit Target                  (predpokladaný) dosiahnutý zisk

STLO                           Stop Loss                     ochranný limitný príkaz

DD                               Draw Down                   viac strát za sebou

 

Poznámka :  Parametre končiace % sú chápané ako percento z intervalu <0;1>. Ich rozmer je [1]. Pre použitie [%]  je nutné výsledok prenásobiť 100.

 

I. System Expectancy  [USD]

SE určuje dlhodobé očakávanie výnosu OS

 

Základný vzorec            SE = W% . W – L% . L             (1)

ináč                             SE = W% . W – (1 – W%) . L    (2)

a po úprave                   SE = (SW – SL) / n                  (3)

ďalšia forma                  SE = K% . W                           (4)

 

Vyjadruje veľkosť priemerného obchodu, čiže čistý zisk prerátaný na jeden obchod v USD. Do výpočtu podľa (3) sa berú všetky obchody. Ziskové aj stratové. Určuje dlhodobé očakávanie výnosu OS od celkového počtu obchodov. Ak vieme z backtestu prerátať počet obchodov za rok, tak prenásobením SE získame ročný zisk, vyprodukovaný OS.

(1) až (3) vychádza priamo z definície SE. (4) umožňuje vypočítať SE z hodnotenia OS pomcou Kellyho formule K% a priemerného ziskového obchodu.

Hodnota SE musí byť > 0 . SE vyjadruje či systém je celkovo ziskový. Ak straty prevýšia zisky, SE sa stane záporné a systém je stratový. Malá hodnota SE dáva priestor na zárobky skôr brokerom, ako traderom.

 

 

II. Trade Expectancy  [1]

TE% určuje pomer priemerného obchodu k stratovému

 

Základný vzorec            TE% = SE / L                           (1)

alebo                            TE% = (SW – SL) / n / L           (2)

a po úprave                   TE% = W% . EF% . R              (3)

čiže                             TE% = K% . R                          (4)

a tiež                           TE% = W% . (R + 1) – 1           (5)

 

Vyjadruje pomer veľkosti priemerného obchodu (SE) k priemernému stratovému obchodu. Ak presiahne TE% 100% , je dosiahnutý stav, keď z dlhodobého pohľadu stratový obchod nepresiahne priemerný obchod, čo dáva predpoklad nízkemu DD. Pretože K% slúži na všeobecné ohodnotenie OS, tak zápis (4) sa dá pre TE% > 100% interpretovať ako "dobrý OS s dobrým pomerom PT : STLO". (Viď definícia R v ďaľšom.) (1) a (2) vychádza priamo z definície TE%. (3) a (4) umožňuje vypočítať TE% z hodnotenia OS pomcou Kellyho formuly K% (K% = W% . EF%) a Win / Loss Ratio R , (5) pomocou W% a R.

Od otváraného obchodu by sa mal vyžadovať minimálne tak vysoký PT, aby platilo

 

(W% . PT – (1 – W%) . STLO) / STLO > TE%                (6)

 

Obchody s väčšou pravdepodobnosťou zisku majú tento pomer vyšší ako TE% a mali by byť v OS uprednostňované. Avšak z obrázku je zrejmé, že aj kvalitné OS môžu mať TE% menší ako  100%.

Jednoduchší výpočet PT sa určuje pomocou R (Win / Loss Ratio). Viď ďalej.

 

 

III. Efficiency  [1]

EF% charakterizuje OS z pohľadu veľkostí ziskov a strát

 

Základný vzorec            EF% = (SW – SL) / SW             (1)

alebo                            EF% = SE / (W% . W)              (2)

alebo                            EF% = (RF – 1) / RF                 (3)

 

Efektivita vyjadruje percentuálny pomer ziskov bez strát ku ziskom. Alebo čistý zisk ku hrubému zisku. Pohybuje sa od 0 do 1. Vyjadruje efektivitu obchodného systému. Systém kde EF%=0 je nefunkčný, lebo straty sa rovnajú ziskom. Teoretická hodnota EF%=1 by popisovala systém, ktorý je výlučne ziskový bez strát. EF% charakterizuje OS z pohľadu veľkostí ziskov a strát a nie z ich početnosti. (Početnosť charakterizuje W%)

(1) vychádza z definície. (2) vyrátava EF% zo System Expectancy a ziskových obchodov. (3) pomocou Reward Factor.

 

IV. Reward Factor  [1]

RF vyjadruje návratnosť systému

 

Základný vzorec            RF = SW / SL                                      (1)

alebo                            RF = (W %. W) / ((1 – W%) . L)             (2)

alebo                            RF = R / (1 / W% – 1)                           (3)

alebo                            RF = 1 / (1 – EF%)                               (4)

alebo                            RF = (W% . W) / (L% . L)                      (5)

 

Vyjadruje návratnosť systému ako pomer ziskov ku stratám. Musí byť  > 1 .  Ak straty prevýšia zisky, RF < 1 a systém sa stáva nefunkčný.

(1) , (2) a (5) vychádza z definície. (3) určuje RF z R a W5 a (4) z EF%.

 

 

V. Win / Loss Ratio  [1]

R určuje pomer PT : STLO

Profit Target : STop LOss

 

Základný vzorec            R =  W /  L                                          (1)

alebo                            R = RF / W% – RF                                (2)

alebo                            R = (1 + TE% – W%) / W%                   (3)

 

Vyjadruje pomer priemerných ziskov ku priemerným stratám. (1) vychádza z definície. (2) z Reward Factor a (3) z Trade Expectancy.

R slúži na stanovenie vhodného Profit Target.

Ak sa v Trade Expentancy II.(5) dosadi do nerovnosti II.(6) a vzťah sa upraví vyjde :

 

PT > STLO . R       (4)

 

Kedže vo vzťahu okrem PT (Profit Target)  a STLO (Stop Loss)  vystupuje len R , uvádzam konečný tvar pre výpočet PT sem aj napriek tomu, že vychádza z TE%.

Ak TA / FA analýza nedáva predpoklad na dosiahnutie PT vypočítanej veľkosti, je na zváženie tradera, či do obchodu pôjde. Ak áno, tak s vedomím, že otváraný obchod pravdepodobne hodnotenie OS zhorší. Pritom obchod môže byť aj ziskový.

 

 

 

VI. Kellyho formula  [1]

K% charakterizuje OS

 

Základný vzorec            K% = W% – (1 – W%) / R         (1)

a po úprave                   K% = W% . EF%                       (2)

alebo                            K% = SE / W                           (3)

alebo                            K% = TE% / R                          (4)

alebo                            K% = W% – W% / RF              (5)

 

(1) je klasická Kellyho Formula. V (2) formula zohľadňuje jednak úspešnosť obchodovania podľa počtu úspešných obchodov W%, ako aj efektivitu obchodného systému z pohľadu veľkosti ziskov a strát EF%. Z (3) vyplýva hodnotenie OS zo System Expectancy SE na priemerný ziskový obchod W. Zo (4) vyplýva hodnotenie OS z Trade Expectancy na Win / Loss ratio. Z (5) vyplýva hodnotenie OS z percenta ziskových obchodov a Reward Factor.

 

KF ochraňuje kapitál tým, že nedovolí zvyšovať obchodnú čiastku ak je priveľa stratových obchodov a tiež vtedy, keď sú straty z hľadiska rizika príliš vysoké.

 

Obchodný systém môže mať dobrú percentuálnu účinnosť v počte viacerých úspešných obchodov pri ich nižšej ziskovosti, alebo robí menej obchodov, ale s väčším ziskom. Snaha je zvýšiť oba faktory. Závisia od obchodného systému.

 

Kellyho formula, keďže vychádza z teórie pravdepodobnosti, ktorá uvažuje s veľkým počtom pokusov, nezohľadňuje rad za sebou idúcich strát (Draw down DD). Je viacero spôsobov, ako tento fakt obchodný systém vyrieši.

 

  1. Stanovením rozsahu od min% po max% sa môžu vytvoriť mantinely, spomedzi ktorých nemôže K% vybočiť.
  2. Povolením lineárneho nárastu K% čiastky po max% až po určitom počte obchodov. Prax ukazuje, že stačí 50 – 100
  3. Po každom výpočte K% sa získané % nasledujúceho obchodu  vydelí počtom DD ak boli za sebou viac ako 2 stratové obchody. V prípade ak bol predchádzajúci obchod ziskový, platí K%.
  4. Kombináciou týchto spôsobov.
  5. Štatistickým prístupom k odhadu nasledujúceho DD na základe teórie pravdepodobnosti.

 

 

Obrázok ukazuje výpoček K% pre tabuľku W% a EF%. Zobrazené hodnoty sú percentuálne veľkosti ďaľšieho obchodu (z veľkosti kapitálu) pri neuvažovaní DD. Pre DD, ktorý vyplynie z backtestingu a prevádzky obchodného systému ich treba upraviť podľa predpokladaného ďaľšieho možného DD.

 

V strede obrázku je elipsou vyznačený "zdravý" obchodný systém. Investované čiastky do obchodu sa pohybujú od  15% do 35%. Za predpokladu, že sa trader poisťuje predpokladom 5 DD, vychádza veľkosť investovanej čiastky do jedného obchodu na  3% až 7% z kapitálu. Sú to bežné investované veľkosti s tou výhodou, že použitie Kellyho formuly nedovolí overtrading. Pri jeho hrozbe je investované % tlačené k spodnej hranici. Na druhej strane, pri rovnomernom striedaní ziskov a strát Kellyho formula zvýši investovanú čiastku až na veľkosť, keď je zaručené najefektívnejšie využitie kapitálu pri reinvestovaní ziskov do ďaľších obchodov pri danom spôsobe obchodovania (priebežne upravované W% a EF% po každom obchode).

 

V strede elipsy je oblasť K% = 25%. Pre OS, ktorý po dlhšom testovaní na každé dva win $$ spraví  jeden loss $$  (EF% = 50% , čiže RF = 2) pri približne rovnakom počte pokusov na zisky ako na straty (W% = 50%), platí pri DD = 0 najväčšia návratnosť pri investíci 25% z účtu. Zníženie K% spraví trader na základe odhadu DD pomocou backtestingu OS na historických dátach.

 

Vstupy pre výpočet Kellyho formuly tiež naznačujú spôsob, ako je možné OS vylepšiť. Pri nižšom W% zvyšovať úspešnosť obchodov (vylepšiť Entry  Point) , pri nižšom EF% zvyšovať ich efektivitu (vylepšiť Profit Target, Slippage alebo Spread).

 

Pri testovaní AOS  s týmto MM sa ukázalo, že pri backteste s počtom pokusov > 250 až 300 dokáže udržať účet s únosnými stratami pri slabo profitabilných obchodných metódach a pri stredne až značne profitablných obchodných metódach dáva priestor na geometrické zhodnocovanie účtu.

 

Účinnejší spôsob využitia Kellyho formuly v MM je prepojenie Kellyho formuly s metódou Fixed Risk (Fixed Fractional Position Sizing).

Základnú myšlienku prepojenia spomína Michael R. Bryant pod názvom optimal f position sizing s odvolaním sa na Ralph Vince a jeho knihu "  "Portfolio Management Formulas," John Wiley & Sons, New York, 1990.

 

Metódu som nazval Lead Risk , pretože umožňuje pomocou niekoľkých parametrov nastaviť vlastnosti MM systému a riadiť Position Sizing podľa charakteristík obchodného systému, úspešnosti predchádzajúceho obchodovania a požadovaného stupňa obchodného rizika.

 

 

Bližší pohľad na reálnosť obchodného systému.

 

 

S použitím vzťahov z tohto článku pre RF IV.(1) , pre EF% III.(1) , a W%  vznikne tabuľka, ktorej každá bunka obsahuje tri údaje. K% podľa VI.(2) , R podľa V.(2) a TE% podľa II.(4). Jej zostrojenie je triviálne.

 

Ak predpokladáme, že dostupnými indikátormi je možné dosiahnuť kvalitu OS v rozmedzí Kellyho formuly K% od  K%=12% do K%=40%  (Toto tvrdenie je tu brané ako vstupný predpoklad. Diskusia o ňom by zabrala viac ako tento článok.), Win/Loss Ratio R sa bežne pohybuje v rozpätí od R=1 do R=10 a Trade Expectancy TE% v rozmedzí od TE%=30% po TE%=250% , dostávame zaujímavé grafické vyjadrenie týchto naraz splnených predpokladov. Sú zobrazené stmavenou väčšou plochou a ohraničené veľkou elipsou. Táto elipsa ukazuje miesta kde platia všetky tri podmienky. Len veľmi málo OS sa dostáva mimo túto plochu a ak áno, nevyužívajú štandartné indikátory, ale profesionálne nekonvenčné štatistické  metódy.

 

Ak si však nebudeme brať rúžové okuliare a dosadíme reálnejšie limity jednotlivým hodnotiacim ukazovateľom obchodného systému v rozsahoch K% = 12% až 35% , R = 1 až 4 a TE% = 30% až 150% , dostávame omnoho pravdepodobnejší odhad oblasti, kde sa bežný OS môže vyskytovať. Tieto podmienky su v bunkách, ktoré majú zvýraznené písmo. Oblasť je označená menšou tmavou elipsou.

 

Takže až niektorý obchodný systém príliš vybočí z veľkej elipsy, je vhodné zvýšiť ostražitosť a zistiť platnosť testovaných podkladov a reálnosť takého obchodovania. Môže sa jednať o netradičný, slabší (vybočenie hore a vľavo) alebo naopak veľmi dobrý OS (vybočenie vpravo a dole). Vo veľkej väčšine prípadov pri dosiahnutí lepších výsledkov (od elipsy vpravo a dole) ide o zanedbanie brokerských poplatkov a slippage, prípadne o "napasovanie" výsledkov posledných obchodov na parametre OS (curve fitting), bez väčšieho predpokladu podobného správania OS v budúcnosti.

 

V malej elipse sa nachádza väčšina reálnych obchodných systémov. Skúsenosti s vytváraním Money Managementu na znásobenie profitu OS pri únosnom, prípadne zmenšovanom DD mi empiricky potvrdili, že OS z tejto oblasti sú vhodné pre "tuning" pomocou MM. Týka sa to najmä spodnej polovice malej elipsy.